Η σημασία της συναρτησιακής ανάλυσης σε προβλήματα μηχανικού. Γενίκευση των εννοιών της απόστασης και της σύγκλισης. Μετρικοί χώροι, πληρότητα, πλήρωση. Παραδείγματα. Θεώρημα σταθερού σημείου και εφαρμογές στην επίλυση συναρτησιακών (διαφορικών, ολοκληρωτικών κ.α.) εξισώσεων. Γραμμικότητα. Χώροι Banach και Hilbert. Έννοια και σημασία της βάσης. Θεμελιώδη θεωρήματα. Τελεστές σε χώρους Hilbert και Banach. Συμπαγείς τελεστές. Αυτοσυζυγείς τελεστές. Φασματική ανάλυση τελεστών. Εφαρμογή σε προβλήματα Sturm-Liouville. Αναπτύγματα σε ιδιοσυναρτήσεις. Παραδείγματα. Ειδικές βάσεις σε χώρους συναρτήσεων. Μη-ορθογώνιες βάσεις που προκύπτουν σε προβλήματα ελεύθερης επιφάνειας.
Διαφορικός λογισμός σε χώρους Banach (διαφόριση κατά Volterra, Gateaux και Frechet). Διαφόριση μη-γραμμικών συναρτησιακών και τελεστών. Η μέθοδος Newton-Raphson για διαφορίσιμους τελεστές. Παραδείγματα. Εφαρμογές στο λογισμό των μεταβολών. Μεταβολικές αρχές (variational principles) για φυσικά προβλήματα. Οι μαθηματικές βάσεις της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων.