Χώροι νορμέ, πληρότητα, χώροι Banach. Βασικά θεωρήματα χώρων Banach. Θεώρημα σταθερού σημείου. Χώροι Hilbert, παραδείγματα. Βέλτιστη προσέγγιση, θεώρημα προβολής, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz. Ορθοκανονικές βάσεις. Κριτήρια βασικότητας υποσυνόλων χώρων Hilbert. Παραδείγματα (πολυώνυμα Legendre, Hermite και Laguerre, το τριγωνομετρικό σύστημα, ορθοκανονικά συστήματα των Rademacher, Walsh και Haar). Τελεστές, νορμ τελεστών, χώροι τελεστών. Θεμελιώδη θεωρήματα. Συμπαγείς τελεστές. Αυτοσυζυγείς τελεστές. Φασματική ανάλυση τελεστών. Αναπτύγ-ματα σε ιδιοσυναρτήσεις. Παραδείγματα. Μη-ορθογώνιες βάσεις και εφαρμογές σε προβλήματα ελεύθερης επιφάνειας. Διορθογώνια συστήματα. Θεωρία πλαισίων (Frame theory), δυϊκά πλαίσια, αντιστροφή.
Μετασχηματισμός Gabor. Θεώρημα αντιστροφής. Πλαίσια Gabor και εφαρμογές αυτών. Ο συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίων (wavelets), θεώρημα αντιστροφής. Παραδείγματα κυματιδίων (Haar, Meyer, Mexican hat, Morlet). Ορθογώνια και μη ορθογώνια wavelets. Λειότητα, συμμετρία. Πλαίσια κυματιδίων (wavelet frames). Διακριτός μετασχηματισμός wavelet. Πολυδιακριτική ανάλυση (multiresolution analysis). Ταχύς μετασχηματισμός wavelet (FWT, αλγόριθμος του Mallat). Παραγώγιση και wavelets. Πολυωνυμική μη γραμμικότητα και wavelets. Εφαρμογές στην ανάλυση σήματος. Κυματιδιακή ανάλυση θαλάσσιων κυματισμών.
Επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων με τη μέθοδο Galerkin. Χρήση συνήθων βάσεων και βάσεων wavelet-Galerkin, Gabor-Galerkin και συγκρίσεις μεταξύ αυτών.
Υπολογιστική άσκηση: Κυματιδιακή ανάλυση σήματος και πεδίου με χρήση υπολογι-στικού περιβάλλοντος MATLAB.